IT - Matematička analiza 2

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU.
VEKTORI U PROSTORU. Pojam vektora: duljina (norma), smjer i orijentacija. Jednakost vektora. Zbrajanje vektora. Množenje vektora skalarom. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora. Baza i ortonormirana baza 3D Euklidskog prostora. Zapis vektora iz 3D Euklidskog prostora u ortonormiranoj bazi. Skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora.
PRAVCI I RAVNINE. Parametarska jednadžba pravca u prostoru. Paralelni, mimoilazni i pravci koji se sijeku. Udaljenost točke od pravca. Udaljenost dva pravca. Jednadžba ravnine: vektorska, implicitna i parametarska. Presjek pravca i ravnine. Udaljenost točke od ravnine.
VEKTORSKI PROSTORI I LINEARNI OPERATORI. Pojam vektorskog (linearnog) prostora i primjeri. Linearni operatori u ravnini. Matrični zapis linearnog operatora.

VEKTORSKA ANALIZA
Vektorske funkcije skalarnog argumenta: definicija i primjeri. Derivacija vektorske funkcije skalarnog argumenta i primjeri: računanje funkcija brzine i akceleracije tijela iz funkcije položaja tijela (kinematika). Integriranje vektorske funkcije skalarnog argumenta i primjeri: računanje funkcije položaja i brzine tijela iz funkcije akceleracije tijela (dinamika). Primjena: Newtonovi zakoni klasične mehanike. Krivulje u 3D prostoru: parametrizacija krivulje i tangenta na krivulju.
FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI. Definicija i primjeri. Parcijalne derivacije. Tangencijalna ravnina i linearna aproksimacija. Diferencijal. Usmjerena derivacija, gradijent i metoda gradijentnog spusta s primjenom na funkciju gubitka u neuronskim mrežama. Skalarna i vektorska polja. Dvostruki integral u pravokutnim i polarnim koordinatama. Trostruki integrali.
INTEGRALI PO KRIVULJAMA I PLOHAMA. Integral skalarnog polja po krivulji. Integral vektorskog polja po orijentiranoj krivulji. Konzervativna polja. Integral skalarnog polja po plohi. Integral vektorskog polja po orijentiranoj plohi. Primjena: Maxwellove jednadžbe.

Ciljevi predmeta su:
da student operativno ovlada nekim temeljnim znanjima u području analitičke geometrije u prostoru, vektorskih prostora i linearnih operatora, te diferencijalnog i integralnog računa za funkcije više varijabli,
matematička znanja staviti u znanstveno-tehnološki kontekst,
razvijati kod studenta sposobnost matematičkog razmišljanja i logičkog zaključivanja.

1. Računati s vektorima u ravnini i prostoru.
2. Definirati pojmove baza i ortonormirana baza vektorskog prostora.
3. Izračunati skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora.
4. Rješavati zadatke s pravcima i ravninama u prostoru.
5. Zapisati matrično neke linearne operatore u ravnini i rješavati s njima neke zadatke.
6. Derivirati i integrirati vektorske funkcije skalarnog argumenta s primjenama na probleme iz fizike.
7. Izračunati parcijalne derivacije, tangencijalnu ravninu, diferencijal, usmjerenu derivaciju i gradijent za funkcije dvije varijable.
8. Izračunati dvostruki i trostruki integral po različitim područjima te riješiti razne zadatke iz primjene dvostrukih i trostrukih integrala.
9. Računati integrale po krivuljama i plohama.

Kolegij pruža proširena znanja iz tehnike integriranja, određene integrale i njihove primjene, Fourierov red i primjene, osnove diferencijalnih jednadžbi te funkcije više varijabli i višestruke integrale.

1. Čulina, Rivier, Čančarević: Matematika 3, Udžbenik Vsite, Zagreb 2008.

1. Ervin Kreyszig: Advanced engineering mathematics, JOHN WILEY & SONS, INC. New York Chichester Brisbane Toronto Singapore, eight edition 2. Luka Krnić, Zvonimir Šikić: Račun diferencijalni i integralni I dio, Školska knjiga, Zagreb 1992

1. Geometrija prostora: Vektori.
2. Geometrija prostora: Pravci i ravnine
3. Geometrija prostora. Linearna preslikavanja i matrice
4. Preslikavanja skalara u skalare: Osnovne ideje i tehnike diferencijalnog i integralnog računa – ponavljanje
5. Preslikavanja skalara u vektore: Položaj, brzina i ubrzanje – deriviranje i integriranje. Zakrivljenost i torzija. Primjena na Newtonove zakone mehanike.
6. Preslikavanja vektora u skalare: Skalarna polja. Parcijalna derivacija. Tangencijalna ravnina. Diferencijal. Usmjerena derivacija, gradijent i metoda gradijentnog spusta s primjenom na funkciju gubitka u neuronskim mrežama.
7. Preslikavanja vektora u skalare: Površinski i volumni integral.
8. Ponavljanje prvog dijela gradiva i priprema za prvi kolokvij
9. Preslikavanja vektora u vektore: Transformacije prostora. Transformacije koordinata i integriranje u nekartezijevim koordinatama.
10. Skalarna i vektorska polja: Krivuljni integral skalarnog i vektorskog polja.
11. Skalarna i vektorska polja: Konzervativna polja i zakon sačuvanja energije.
12. Skalarna i vektorska polja: Plošni integral skalarnog i vektorskog polja.
13. Osnovni teoremi vektorskog računa: Teorem o gradijentu. Teorem o divergenciji. Teorem o rotaciji.
14. Primjena: Maxwellove jednadžbe elektromagnetizma
15. Ponavljanje drugog dijela gradiva i priprema za drugi kolokvij

1. Računanje s vektorima
2. Pravci i ravnine
3. Linearna preslikavanja i matrice
4. Deriviranje i integriranje - ponavljanje
5. Deriviranje i integriranje vektorskih funkcija skalarnog argumenta
6. Deriviranje i integriranje skalarnih funkcija vektorskog argumenta
7. Ponavljanje pred prvi kolokvij
8. Prvi kolokvij
9. Površinski i volumni integral u nekartezijevim koordinatama
10. Krivuljni integral
11. Konzervativna polja
12. Plošni integral
13. računanje gradijenta, divergencije i rotacije
14. ponavljanje za drugi kolokvij
15. Drugi kolokvij

1. Vektori i matrice.
2. Krivulje i plohe - crtanje.
3. Skalarna polja - grafovi, nivo krivulje, tangencijalna ravnina, gradijent.
4. Površinski i volumni integrali.
5. Integriranje po krivuljama, konzervativna polja.
6. Integriranje po plohama.

1. Geometrija prostora. Vektori.Pravci i ravnine. Linearna preslikavanjai matrice. Preslikavanja skalara u skalare: Osnovne ideje i tehnike diferencijalnog i integralnog računa – ponavljanje. Preslikavanja skalara u vektore. Položaj, brzina i ubrzanje – deriviranje i integriranje. Zakrivljenost i torzija. Primjena na Newtonove zakone mehanike. Preslikavanja vektora u skalare. Skalarna polja. Parcijalna derivacija. Tangencijalna ravnina. Diferencijal. Gradijent i usmjerena derivacija. Površinski i volumni integral.
2. Preslikavanja vektora u vektore. Transformacije prostora. Transformacije koordinata i integriranje u nekartezijevim koordinatama. Skalarna i vektorska polja. Krivuljni integral skalarnog i vektorskog polja. Konzervativna polja. Plošni integral skalarnog i vektorskog polja. Osnovni teoremi: o gradijentu, divergenciji i rotaciji. Primjena na Maxwellove zakone elektromagnetizma.

1. Način provjere znanja: prisutnost i aktivnost na nastavi (maksimalno 5 bodova), dva kolokvija (maksimalno 40 bodova), završni usmeni ispit (maksimalno 15 bodova). Studenti koji iz kolokvija i pohađanja nastave osvoje manje od 12 bodova moraju ponovo upisati kolegij Studenti koji osvoje više od 11 a manje od 23 boda moraju na završnom ispitu prvo popravljati jedan od kolokvija da bi mogli pristupiti završnom usmenom ispitu Studenti koji imaju više od 22 boda izlaze na završni usmeni ispit. Kriterij za formiranje konačne ocjene: 30 – 38 bodova → 2, 39 do 44 boda → 3, 45 do 50 bodova →4, 51 bod i više → 5

1. kolokviji, konzultacije, samostalno učenje, samostalno rješavanje numeričkih zadataka